Для расчета кварцевого фильтра необходимо знать эквивалентные параметры кварцевых резонаторов (КР). Рассмотрим, как определить индуктивность и емкость последовательной ветви эквивалентной схемы кварцевого резонатора без учета его статической емкости CQ (эквивалентная схема КР проанализирована в [1]).

Рис.1.

Эквивалентная схема КР приведена на рис.1, а последовательная ветвь эквивалентной схемы (совместно с измерительным конденсатором) — на рис.2. Заметим, что сопротивление r_х практически не влияет на точность измерения частоты последовательного резонанса и не сказывается на значении искомых параметров Lх и Сх, поэтому r_х на рис.2 отсутствует.

Для определения Lx и Сх КР возбуждают в кварцевом генераторе, в схеме которого используется последовательный резонанс КР (например, можно воспользоваться схемой генератора, приведенной в [2] на рис.1.32).

Если последовательно с КР включен измерительный конденсатор C1, на выходе генератора формируется частота fs₁, если конденсатор С2 — частота fs₂.

Рис.2.

Частота последовательного резонанса при отсутствии С₁ (или С₂), согласно рис.2, выражается формулой:

fs = 1/2p Ö Lx * Сx (1),где

• Lx — эквивалентная индуктивность КР, Гн;
• Сх — эквивалентная емкость кварца, Ф.

При наличии в схеме рис.2 конденсатора C₁ (C₂), имеет место последовательное соединение Сх и C1 (C2). Теперь, зная емкости C1 (C2) и частоты генератора fs₁ (fs₂) (измерив их частотомером) можно найти значения Lx и Сх кварца.

Известно, что емкость последовательно соединенных конденсаторов выражается формулой:

C = Сх * С1/ Сх + С1 (2) или

C = Сх * С2/ Сх + С2 (3)

Подставляя (2) и (3) в (1), получим:

fs₂ = 1/ 2p Ö Lx * (Сх * С1/ Сх + С1) (4) и

fs₂ = 1/ 2p Ö Lx * (Сх * С2/ Сх + С2) (5)

Далее, избавляясь от радикала в знаменателе, выражаем Lx через остальные величины (промежуточные вычисления опущены):

Lx = Сх + С1/ f²s₁ * 4p ² * Сх + С1 (6) и

Lx = Сх + С2/ f²s₂ * 4p ² * Сх + С2 (7)

Для проведения измерений необходимо, чтобы конденсаторы C1 и С2 обязательно были разной емкости (например, 150 пФ и 300 пФ). Т.е. фактически необходимо произвести всего два измерения — измерить частоту fs1 при наличии измерительного конденсатора C1 и частоту fs2 при наличии измерительного конденсатора С2.

Учитывая, что параметры Lx и Сх не являются функцией от C1 или С2 (по определению эквивалентной схемы), рассмотрим систему двух уравнений (6) и (7) с двумя неизвестными — Lx и Сх. Для решения системы этих уравнений приравняем их правые части:

Сх + С1/ f²s₁ * 4p ² * Сх + С1 = Сх + С2/ f²s₂ * 4p ² * Сх + С2

Далее произведем перекрестное умножение:

Cx (С2 * f²s₂ - С1 * f²s₁) = С1 * С2(f²s₁ - f²s₂ )* 4p ² * Сх + С1 (9)

Окончательно в результате всех преобразований получаем

Cx = С1С2(f²s₁ - f²s₂ )/ С2 * f²s₂ - С1 * f²s₁ Cx (10)

Cx = С1С2(f²s₂ - f²s₁ )/ С1 * f²s₂ - С2 * f²s₁ Cx (11), где

• емкости конденсаторов C1, C2 — в фарадах,
• частоты — в герцах.

Подставляем (10) в (6) и (7), и произведя необходимые упрощения, окончательно имеем:

Lx = С1 - С2 / 4p *С1*С2(f²s₂ - f²s₁) (12)

Lx = С2 - С1 / 4p *С1*С2(f²s₁ - f²s₂) (13)

Таким образом, оказалось возможным определить эквивалентные параметры Lx и Сх КР без учета CQ. Для выполнения практических расчетов формулами (10) и (11) удобнее пользоваться, выражая все емкости в пикофарадах, а все частоты — в килогерцах.

Для формул (12) и (13) более удобное для практических расчетов выражение имеет вид:

Lx = 25330,296 * (С1 - С2) / С1* С2(f²s₂ - f²s₁) (14)

Lx = 25330,296 * (С2 - С1) / С1* С2(f²s₁ - f²s₂) (14), где

• все индуктивности выражены в генри,
• все емкости — в пикофарадах,
• все частоты — в килогерцах.

Для большинства кварцев, согласно [1], величина Со составляет 10...20 пФ. Кварцы, которые обычно используют радиолюбители, т.е. кварцы на частоты выше 1 МГц, имеют значение Со равное 10 пФ. Поскольку Со в подобных расчетах учитывать необходимо, то при поверхностном знакомстве с предлагаемой методикой может показаться, что получаемые результаты расчетов могут быть неверными.

Однако это будет иметь место, когда емкости измерительных конденсаторов C1 и С2 соизмеримы с CQ. В случае, если C1 и С2 в 10...50 раз превышают Со, ошибка по сравнению с истинным значением получается небольшой (чем больше величины C1 и С2 по сравнению с Со, тем ошибка меньше).